Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una rama
de las matemáticas que
estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de
objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus
operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de
cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los
conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,
...; y junto con la lógica permite
estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la
matemática.
Además, la propia teoría de
conjuntos es objeto de estudio por eso, no sólo como herramienta
auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual
que se presenten casos de propiedades indemostrables ocontradictorias,
como la hipótesis del
continuo o la existencia de un cardinal inaccesible.
Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se
apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la
teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar
cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las
paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo,Abraham Fraenkel y otros a principios
del siglo XX.
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