(3° PARCIAL) CONJUNTO FINITO E INFINITO

CONJUNTO FINITO

Un conjunto A es un conjunto finito si existe una billección entre él y el conjunto {1, 2, 3,..., n}, con n un número natural, que representa la cardinal del conjunto. Es decir, | A | = n.

Si n = 0, entonces A es un conjunto vacío.

Todo conjunto finito es además un conjunto numerable (pero no todo conjunto numerable es finito).

CONJUNTO INFINITO

En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es cualquier conjunto que no pueda ponerse en billección con ningún número natural. 
Dos definiciones de infinitud 

La definición de conjunto infinito dada más arriba es la más usual, pero no es la única. En ocasiones se define un conjunto infinito como aquél que puede ponerse en billección con un subconjunto propio de sí mismo. Puesto que esta definición de infinitud es distinta a la primera, suele distinguirse por el nombre de infinitud de Dedekind, y un conjunto infinito de este tipo se dice conjunto infinito de Dedekind. Por otro lado, la primera definición que aquí aparece de infinitud se debe a Peano, y por ello, los conjuntos que cumplan con ella son conjuntos infinitos de Peano.

Ciertamente, todo conjunto infinito de Dedekind es un conjunto infinito de Peano, pero lo recíproco no es verdadero a menos que se suponga el axioma de elección, por lo que estos dos conceptos son, efectivamente, distintos.