Teorema de Bayes

Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.¹

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio por eso, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables ocontradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo,Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Técnicas de conteo

TECNICAS DE CONTEO

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se

admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea 

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

 Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación. 

Teorema de binomios

Teorema del Binomio

*CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO *

El teorema del binomio, también llamado binomio de  Newton, expresa la enésima  potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio  ( a + b)^n posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas

aplicaciones en otras áreas del conocimiento.

FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO 

Sea un binomio de la forma (a +b).

a) El desarrollo de (a + b)^n tiene  n +1 términos.

b) Las potencias de  a empiezan con  n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último.

c) Las potencias de  b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta  n en el último.

d) Para cada término la suma de los exponentes de  a y  b es  n .

e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es  n . 

f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de  a dividido entre el número que indica el orden de ese término. 

g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.

Ejemplo.

Obtener el desarrollo de 2( x −5y)^4

Solución

Haciendo a = 2 x y b = −5y

(3° PARCIAL) CONJUNTO FINITO E INFINITO

CONJUNTO FINITO

Un conjunto A es un conjunto finito si existe una billección entre él y el conjunto {1, 2, 3,..., n}, con n un número natural, que representa la cardinal del conjunto. Es decir, | A | = n.

Si n = 0, entonces A es un conjunto vacío.

Todo conjunto finito es además un conjunto numerable (pero no todo conjunto numerable es finito).

CONJUNTO INFINITO

En teoría de conjuntos, un conjunto infinito es cualquier conjunto que no pueda ponerse en billección con ningún número natural. 
Dos definiciones de infinitud 

La definición de conjunto infinito dada más arriba es la más usual, pero no es la única. En ocasiones se define un conjunto infinito como aquél que puede ponerse en billección con un subconjunto propio de sí mismo. Puesto que esta definición de infinitud es distinta a la primera, suele distinguirse por el nombre de infinitud de Dedekind, y un conjunto infinito de este tipo se dice conjunto infinito de Dedekind. Por otro lado, la primera definición que aquí aparece de infinitud se debe a Peano, y por ello, los conjuntos que cumplan con ella son conjuntos infinitos de Peano.

Ciertamente, todo conjunto infinito de Dedekind es un conjunto infinito de Peano, pero lo recíproco no es verdadero a menos que se suponga el axioma de elección, por lo que estos dos conceptos son, efectivamente, distintos.